Расчет течений газа при наличии энергообмена

Выполнил студент III курса мехмата: Закиев Р.Н. Научный руководитель: Филатов Е.И. Казань 2003. Движение подогреваемого газа по трубе постоянного сечения.

Процесс подвода тепла вносит особый вид сопротивления: при подогреве движущегося газа полное давление падает. Будем рассматривать движение газа в трубке изображенной на рисунке: Прибегнем к следующей идеализированной схеме. Газ поступает в трубу х-г из канала с большим поперечным сечением. Пусть скорость потока мала. l Х l Г Согласно уравнению Бернулли Отсюда изменение полного давления Из уравнения неразрывности Из уравнения импульсов можно определить падение статического давления при подогреве на участке х-г (пренебрегая трением): Подставив эту разность в уравнение (1) , имеем Обнаруженное “тепловое сопротивление” можно объяснить так: как известно, повышение энтропии в газе зависит как от количества подведенного тепла, так и от температурного уровня: Оценим влияние подвода тепла на расход газа в трубе.

Отношение расходов газа при наличии и отсутствии подогрева в трубе: Исследуем теперь падение давления на участке х-г трубы при большой дозвуковой скорости движения газа. При значительных скоростях течения плотность газа при подогреве уменьшается не только из-за повышения температуры, но и вследствие понижения статического давления .В связи с этим скорость газа увеличивается вдоль трубы быстрее, чем температура.

Скорость звука, которая пропорцианальна корню квадратному из абсолютной температуры, увеличивается вдоль трубы значительно медленнее, чем скорость потока. По этой причине число М= V / a по длине трубы растет. Поток имеющий любую начальную скорость , можно за счет соответствующего подогрева довести до критической скорости(М Г =1). При большом начальном значении числа М понадобится незначительный подогрев. Чем ниже скорость , тем более сильный критический подогрев необходим. Но никаким подогревом нельзя перевести поток в цилиндрической трубе в сверхзвуковую область. Это явление носит название теплового кризиса.

Естественно, после того, как в конце трубы достигнут кризис, скорость потока в начале трубы не может быть увеличена никакими способами. Если по достижении кризиса продолжать подогрев газа , то величина критической скорости в конце трубы растет , а скорость в начале трубы падает. Иначе говоря, заданному количеству тепла соответствует совершенно определенное предельное значение числа М в начале трубы.

Величины l и М связаны следующим соотношением: Задачи на расчет течения газа при наличии энергообмена. I задача. (Давидсон В. Е. “Основы газовой динамики в задачах”. Задача№169 ) (Все формулы использованные при решении задач взяты из задачника Давидсона В.Е.) Постановка задачи: Поток воздуха подогревается в цилиндрической трубе сжиганием в нем горючего, расход которого составляет 5% от расхода воздуха. До подогрева скорость воздуха V 1 =50 м/сек, давление р 1 =9,89 ата, температура торможения Т 01 =400 0 К.Найти скорость и давление газа в сечении трубы ,где температура торможения Т 02 =1500 0 К.Принять к=1,33, R =291 дж/кг*град.

Трением пренебречь.

Решение задачи: Воспользуемся теоремой импульсов переписанной (для труб с прямолинейной осью) в скалярной форме: (1) Применим ее в виде теоремы сохранения импульсов, т.е. при =0.Откуда: (2) здесь (3) (4) l -коэффициент скорости, l 1 - коэффициент скорости на входе, l 2 - коэффициент скорости на выходе из трубы. (5) G t -секундный расход газа.

Найдем и м/сек.

Внутри трубы к=1,33 м/сек. . Так как расход G t 2 больше G t 1 на 5% то z ( l 1 )=7.5049.Подставим найденные значения в формулу (2) z ( l 2 )= l 2. l 2 =0,29825 l 2 =3,35295 Реальным будет только первое решение, поскольку подогревом нельзя перевести дозвуковой поток в сверхзвуковой. Зная коэффициент скорости мы можем найти скорость , этому коэффициенту соответствующую: м/сек. (6) где по уравнению расхода (7) s -коэффициент восстановления полного давления. p -газодинамическая функция. B 1 G и B 2 G здесь постоянные . (8) Вычисляем B 1 G и B 2 G по формуле (8): B 1 G =0,3937 и B 2 G =0,3868.Найдем значения q k =1.4 ( l 1 ) , q k =1,33 ( l 2 ) , p л=1,4 ( l 1 ), и p л=1,4 ( l 1 ) по таблицам газодинамических функций: q k =1.4 ( l 1 )=0,2036 , q k =1,33 ( l 2 )=0,4443, p л=1,4 ( l 1 )=0,9886, p л=1,4 ( l 1 ) =0,9496.Подставим все найденные значения в формулы (6),(7) и (8).Найдем из формулы (6) р 2 : р 2 =9,0126 ата. Ответ : V 2 =210.54 м/сек, р 2 =9,0126 ата. II задача. (Давидсон В. Е. Основы газовой динамики в задачах.

Задача№170 ). Постановка задачи: Сделать одномерный расчет степени подогрева , скорости воздуха и поперечных размеров для полутеплового сопла (тепловое воздействие на дозвуковую часть потока в цилиндрической трубе, геометрическое—на сверхзвуковую) по следующим данным: до подогрева в камере температура торможения Т 01 =289 0 К, давление торможения р 01 =20 ата, скорость потока V 1 =62,2 м/сек, секундный весовой расход воздуха через сопло Gt =9 кг/сек, истечение расчетное в атмосферу при давлении р а =1,03 ата.

Определить тягу сопла R . Решение задачи: В конце камеры подогрева воздух должен иметь критическую скорость . м/сек. При известной критической скорости и начальной скорости на входе в цилиндрическую часть сопла можно вычислить l 1 . l 1 -коэффициент скорости на входе в трубу. l 1 = V / a kp =0.1999. Т.к. в конце трубы воздух имеет критическую скорость, l на выходе из трубыl 2 =1. По теореме сохранения полного импульса , в цилиндрической части Из этой формулы находим температуру торможения на выходе из трубы:Т 02 =1955 0 К При известной температуре торможения можем найти скорость воздуха на выходе из цилиндрической части сопла: V 2 =809.24 м/сек. Та же теорема ,выраженная через газодинамическую функцию f ( l ), дает коэффициент восстановления полного давления s = p ( l а )= l а и , следовательно , . p ( l а )=0,0638. По газодинамическим таблицам находим значение l а =1,81.Найдем скорость потока V а =1464м/сек.