Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. EНП L E, ' e (0,1) $ z e EL z e =1 r (z e ,L)>1- e Определение: Полное нормированное пространстволюбая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве . Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение: L плотное в E , если ' x E $ u L: x-u e Теорема: Чтобы L было плотно в H ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.

Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy Определение: Непрерывный оператор – Ax Ax 0 при x x 0 Определение: L ( X,Y) – пространство линейных операторов Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X , тогда он непрерывен на всем X. Определение: Ограниченный оператор - ' x 1 $ с: Ax c Теорема: A – ограниченный ' x X Ax c x Теорема: Для того чтобы А был непрерывен чтобы он была ограничен Теорема: {A n } равномерно ограничена {A n }- ограничена.

Теорема: {A n x}– ограниченно { A n }- ограничена.

Определение: Сильная (равномерная) сходимость A n -A 0, n , обозначают A n A Определение: Слабая сходимость - ' x X (A n -A)x Y 0, n Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость {A n } сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1 Теорема: Банаха-Штенгауза A n A n слабо 1) { A n }- ограничена 2) A n A, x’ X, x’=x Теорема: Хана Банаха. A:D(A) Y, D(A) X $ A’:X Y 1) A’x=Ax, x D(A) 2) A’ = A Определение: Равномерная ограниченность - $ a ' x: x(t) a Определение: Равностепенная непрерывность ' t 1 ,t 2 $ d : x(t 1 )-x(t 2 ) e Теорема: L ( X,Y) полное, если Y – полное.

Определение: Ядро – {x X | Ax=0} Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X * := L ( X,E) Определение: Сопряженный оператор A * : Y * X * Теорема: Банаха A:X Y и X,Yполные нормированные пространства. Тогда $ A -1 и ограничен.

Определение: Оператор А – обратимый Определение: Оператор Анепрерывнообратимый если 1) Aобратим, 2) R(A)=Y, 3) A -1 - ограничен.

Теорема: A -1 $ и ограничен $ m>0 ' x X Ax m x Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X Y – линейный ограниченный функционал $ ! y H ' x H f(x)=(x,y) Определение: M X называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.